令 $t=e^{-x}>0$，原级数化为 $\sum c_n{t}^n$，其中 $c_n=\frac{n!}{n^n}$。系数比值为

因此该幂级数半径为 $e$，在 $0<t<e$ 时收敛、$t>e$ 时发散。
单独检查 $t=e$。此时通项 $u_n=\frac{n!e^n}{n^n}>0$，且

因为 $n\ln (1+\frac{1}{n})<1$。所以 $u_n\ge u_1=e$，通项不趋于零，端点发散；也可由斯特林公式得 $u_n\sim \sqrt{2\pi n}$。
综上，收敛等价于 $e^{-x}<e$，即 $x>-1$，收敛域为 $(-1,+\infty )$，所以 $a=-1$。