真题库

设随机变量$X\sim N(0,4)$，随机变量$Y\sim B(3,\frac{1}{3})$，且$X$与$Y$不相关，则$D(X-3Y+1)=$（　　）。

已知曲线$L$的极坐标方程为$r=\sin 3\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$，则$L$围成的有界区域的面积为 。

已知函数$f(x)={\mathrm{e}}^{\sin x}+{\mathrm{e}}^{-\sin x}$，则$f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=$ 。

$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{2}{)}^{\cot x}=$ 。

已知$a_n=\sqrt[n]{n}-\frac{(-1{)}^n}{n}(n=1,2,\dots )$，则数列$\{a_n\}$（　　）。

设$X_1,\dots ,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_1,\dots ,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta >0$是未知参数。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& a^2\\ 1& b& b^2\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$，则线性方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$解的情况为（　　）。

设$p$为常数。若反常积分${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}\mathrm{d}x$收敛，则$p$的取值范围是（　　）。

设某产品的产量$Q$由资本投入量$x$和劳动投入量$y$决定，生产函数为$Q=12x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{6}}$，该产品的销售单价$P$与$Q$的关系为$P=1160-1.5Q$，若单位资本投入量和单位劳动投入量的价格分别为$6$和$8$，求利润最大时的产量。

设$X_1,\dots ,X_n$为来自均值为$\theta$的指数分布总体的简单随机样本，$Y_1,\dots ,Y_m$为来自均值为$2\theta$的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中$\theta >0$是未知参数。

设随机变量序列$X_1,X_2,\dots$独立同分布，且$X_i$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则当$n\to \infty$时，$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$依概率收敛于（　　）。

已知可微函数$f(u,v)$满足$f_u-f_v=2(u-v){\mathrm{e}}^{-(u+v)}$，且$f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$。

设$A,B$为$n$阶矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵。若方程组$A\mathbf{x}=0$与$B\mathbf{x}=0$同解，则（　　）。

当$x\to 0$时，$\alpha (x),\beta (x)$是非零无穷小量。给出命题：① $\alpha \sim \beta \Rightarrow {\alpha }^2\sim {\beta }^2$；② ${\alpha }^2\sim {\beta }^2\Rightarrow \alpha \sim \beta$；③ $\alpha \sim \beta \Rightarrow \alpha -\beta =o(\alpha )$；④ $\alpha -\beta =o(\alpha )\Rightarrow \alpha \sim \beta$。真命题的序号为（　　）。

设$A$为 3 阶矩阵，交换$A$的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的$-1$倍加到第 1 列，得到矩阵$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$，则$\mathrm{tr}(A^{-1})=$ 。

设随机变量$X_1,X_2,\dots ,X_n$独立同分布，且$X_1$的$4$阶矩存在，$E(X_1^k)={\mu }_k(k=1,2,3,4)$。对任意$\epsilon >0$，对随机变量$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$直接应用切比雪夫不等式，所得不等式为$P\{|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2|\ge \epsilon \}\le$（　　）。

已知矩阵$A$和$E-A$可逆，其中$E$为单位矩阵。若矩阵$B$满足$[E-(E-A{)}^{-1}]B=A$，则$B-A=$ 。

${\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x=$（　　）。

若$I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x,I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x,I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid y-2\le x\le \sqrt{4-y^2},0\le y\le 2\}$，计算$I={\iint }_D\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。