真题库

微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0$的通解为$y(x)=$ 。

函数$f(x,y)=x^2+2y^2$在点$(0,1)$处的最大方向导数为 。

${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表。若事件$\{\max (X,Y)=2\}$与事件$\{\min (X,Y)=1\}$相互独立，则$\mathrm{Cov}(X,Y)$等于（　　）。

设$f(u)$可导，$z=xyf(\frac{y}{x})$。若$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（　　）。

设$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 3 阶矩阵$A$的特征值为$1,-1,0$的充分必要条件是（　　）。

设数列$\{x_n\}$满足$-\frac{\pi }{2}\le x_n\le \frac{\pi }{2}$，则（　　）。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$满足条件$y(1)=3$的解，求曲线$y=y(x)$的渐近线。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_3$。

已知曲线$L$是曲面$\Sigma :4x^2+y^2+z^2=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$的边界，曲面$\Sigma$方向朝上，曲线$L$的方向与曲面方向符合右手法则，计算$I={\oint }_L(y{z}^2-\cos z)\mathrm{d}x+2x{z}^2\mathrm{d}y+(2xyz+x\sin z)\mathrm{d}z$。

设随机变量$X\sim N(0,1)$。若在$X=x$的条件下，随机变量$Y\sim N(x,1)$，则$X$与$Y$的相关系数为（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{3}ij{x}_i{x}_j$。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)f(y-x)\mathrm{d}y=$ 。

当$x\ge 0,y\ge 0$时，$x^2+y^2\le k{\mathrm{e}}^{x+y}$恒成立，则$k$的取值范围是 。

已知函数$y=y(x)$由方程$x^2+xy+y^3=3$确定，则$y^{\prime \prime }(1)=$ 。

设随机变量$X$服从区间$(0,3)$上的均匀分布，随机变量$Y$服从参数为 2 的泊松分布，且$\mathrm{Cov}(X,Y)=-1$，则$D(2X-Y+1)=$（　　）。

下列 4 个条件中，3 阶矩阵$A$可相似对角化的一个充分非必要条件是（　　）。

设${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ \lambda \end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)$。若向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$与${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4$等价，则$\lambda$的取值范围是（　　）。

设$D\subset {\mathbb{R}}^2$是有界单连通闭区域，$I(D)={\iint }_D(4-x^2-y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$取得最大值的积分区域为$D_1$。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$（　　）。