真题库

已知$g(x)$连续，设$f(x)={\int }_0^{x^2}g(xt)\mathrm{d}t$。求$f^{\prime }(x)$，并判断$f^{\prime }(x)$在$x=0$处的连续性。

某种元件的寿命服从均值为未知参数$\theta >0$的指数分布。取$n$个寿命相互独立的元件同时试验，到出现$k$个元件失效时停止，其中$n,k$为整数且$1\le k\le n$。

已知$M(x_0,y_0)$是曲线$y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$的拐点。$O$为原点，$D$是第一象限中以该曲线在$x\ge x_0$的部分、线段$OM$及$x$轴正半轴为边界的无界区域。求$D$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积。

设$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有三阶连续导数，且存在可微函数$F(x,y)$使$\mathrm{d}F=\frac{f(xy)}{x^{2}y}\mathrm{d}x+\frac{f^{\prime \prime }(xy)}{x{y}^2}\mathrm{d}y(xy>0)$。

设可导函数$f(x)$严格单调递增，且${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，记$a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

有向曲线$L$为椭圆$x^2+3y^2=1$上沿逆时针方向从$A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$到$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$的部分，计算${\int }_L({\mathrm{e}}^{x^2}\sin x-2xy)\mathrm{d}x+(6x-x^2-y{\cos }^{4}y)\mathrm{d}y$。

已知${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ -2\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$，设$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4),G=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)$。

求函数$f(x,y)=(2x^2-y^2){\mathrm{e}}^x$的极值。

计算${\int }_{-1}^1\mathrm{d}x{\int }_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}}y\sin \sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}y$。

求微分方程$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-(y^{\prime }{)}^2=0(x>2)$满足$y(3)=\frac{1}{2},y^{\prime }(3)=-9$的解。

已知$f(x)$满足$f(x)=\frac{1}{(2-x{)}^2}-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，将$f(x)$展开成$x$的幂级数。

设$D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算${\iint }_D\frac{y}{(1+x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设曲面$\Sigma$由直线$x=0,y=0$绕直线$x=t,y=t,z=t$旋转一周得到，${\Sigma }_1$为其介于平面$x+y+z=0$与$x+y+z=1$之间部分的外侧。计算${\iint }_{{\Sigma }_1}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right)$与$B=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$合同。

已知平面区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 4x,x^2+y^2\le 4y\}$，计算${\iint }_D(x-y{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 3& 0& -1\\ -1& 0& -2& -a& -1\\ 1& 1& a& 2& 3\end{array}\right)$的秩为2。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& 0& 2\\ -1& -1& a\end{array}\right)$，已知1是$A$的特征多项式的重根。

损失事件发生时，赔付额$Y=\{\begin{array}{ll}0,& X\le 100\\ X-100,& X>100\end{array}$。损失额$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\times 100^2}{(100+x{)}^3},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$。

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。证明：$f^{\prime }(x)$在该区间内严格单调增加的充分必要条件是，对任意$x_1<x_2<x_3$，有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$。

设区域$D=\{(x,y)|y^2\le x,x^2\le y\}$，计算${\iint }_D(x-y+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。