2025 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

设矩阵

A = 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 22 a

，已知1是

A

的特征多项式的重根。

(1) 求 $a$ 的值；
(2) 求所有满足 $A α = α + β, A^{2} α = α + 2 β$ 的非零列向量 $α, β$ 。

答案

第 1 问

$a = 3$ 。

第 2 问

$α = (u, v, w)^{T}, β = (2 w - u - v) (1, 1, 1)^{T}$ ，其中 $u, v, w \in R$ 且 $2 w - u - v \neq = 0$ 。

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第 1 问

对特征行列式的第一行减第二行，提出因子 $λ - 1$ ，再把第一列加到第二列，得到

∣ λ E - A ∣ = (λ - 1) 111 0 λ + 1 2 0 - 2 λ - a = (λ - 1) [(λ + 1) (λ - a) + 4] .

记 $g (λ) = (λ + 1) (λ - a) + 4$ 。题设指定 $1$ 是重根，故还须 $g (1) = 0$ ，即 $2 (1 - a) + 4 = 0$ ，得 $a = 3$ 。代回有 $g (λ) = (λ - 1)^{2}$ ，于是特征多项式为 $(λ - 1)^{3}$ ，确实满足条件。

第 2 问

将 $A α = α + β$ 左乘 $A$ ，得 $A^{2} α = α + β + A β$ ，与另一条件比较得 $A β = β$ 。反过来， $A α = α + β$ 和 $A β = β$ 也可推出 $A^{2} α = α + 2 β$ ，所以原条件等价于

(A - E) α = β, (A - E) β = 0, β \neq = 0.

其中 $β \neq = 0$ 已保证 $α \neq = 0$ 。由第一问 $a = 3$ ，记

N = A - E = - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 222 = 111 (- 1, - 1, 2) .

由于 $(- 1, - 1, 2) (1, 1, 1)^{T} = 0$ ，故 $N^{2} = O$ 。于是对任意 $α$ ，令 $β = N α$ 即自动满足 $N β = 0$ ，只需保留 $β \neq = 0$ 。
因此全部解可写为

α = u v w, β = (2 w - u - v) 111,

其中 $u, v, w$ 为任意满足 $2 w - u - v \neq = 0$ 的实数。这个条件同时保证两个列向量都非零，不要求各个分量分别非零。
也可取 $N x = 0$ 的基础解系 $(1, - 1, 0)^{T}, (2, 0, 1)^{T}$ ，将全部解等价表示为

α = c_{1} + 2 c_{2} + c_{3} - c_{1} c_{2}, β = - c_{3} 111,

其中 $c_{1}, c_{2}$ 任意， $c_{3} \neq = 0$ 。由 $N^{2} = O$ ， $A β = (E + N) N α = β$ ，从而两条原等式均成立。