2025 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

损失事件发生时，赔付额

Y = {0, X - 100, X \leq 100 X > 100

。损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0 x \leq 0

。

(1) 求 $P {Y > 0}$ 及 $E Y$ ；
(2) 一年内损失事件次数 $N \sim P (8)$ ；在 $N = n (n \geq 1)$ 条件下，理赔次数 $M \sim B (n, p)$ ，其中 $p = P {Y > 0}$ 。求 $M$ 的概率分布。

答案

第 1 问

$P {Y > 0} = \frac{1}{4}$ ， $E (Y) = 50$ 。

第 2 问

$M \sim P (2)$ ，即 $P {M = m} = \frac{e ^{- 2} 2 ^{m}}{m !}$ ， $m = 0, 1, 2, \dots$ 。

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第 1 问

发生赔付当且仅当损失超过 $100$ ，于是

p = P {Y > 0} = \int_{100}^{+ \infty} \frac{20000}{( 100 + x ) ^{3}} d x = [- \frac{10000}{( 100 + x ) ^{2}}]_{100}^{+ \infty} = \frac{1}{4} .

按赔付函数求期望，令 $t = 100 + x$ ，得

E (Y) = \int_{100}^{+ \infty} (x - 100) \frac{20000}{( 100 + x ) ^{3}} d x = 20000 \int_{200}^{+ \infty} (\frac{1}{t ^{2}} - \frac{200}{t ^{3}}) d t = 20000 [- \frac{1}{t} + \frac{100}{t ^{2}}]_{200}^{+ \infty} = 50.

这里是每次损失事件的平均赔付，不能用条件期望 $E (Y ∣ Y > 0)$ 代替。

由积分可得损失额的尾概率 $P {X > u} = \frac{10000}{( 100 + u ) ^{2}}$ （ $u \geq 0$ ），因此 $p = P {X > 100} = \frac{1}{4}$ 。非负随机变量的尾积分公式给出

E (Y) = \int_{0}^{+ \infty} P {Y > t} d t = \int_{0}^{+ \infty} \frac{10000}{( 200 + t ) ^{2}} d t = 50.

第 2 问

由第一问 $p = \frac{1}{4}$ 。给定 $N = n \geq 1$ ，有 $M \sim B (n, \frac{1}{4})$ ；若 $N = 0$ ，则没有损失事件，必有 $M = 0$ ，可统一看作退化的 $B (0, \frac{1}{4})$ 。
对任意整数 $m \geq 0$ ，用全概率公式并令 $j = n - m$ ，得

P {M = m} = n = m \sum \infty \frac{e ^{- 8} 8 ^{n}}{n !} (m n) (\frac{1}{4})^{m} (\frac{3}{4})^{n - m} = \frac{e ^{- 8} 2 ^{m}}{m !} j = 0 \sum \infty \frac{6 ^{j}}{j !} = \frac{e ^{- 8} 2 ^{m}}{m !} e^{6} = \frac{e ^{- 2} 2 ^{m}}{m !} .

因此 $M$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布。求和包含 $m = 0$ 的情形，也包含 $N = 0$ 对零次理赔的贡献。