若 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=0$，比较第二分量得 $-k_2=0$，比较第一分量得 $k_1+k_2=0$，所以 $k_1=k_2=0$，两向量线性无关。
又直接按分量计算，${\alpha }_3={\alpha }_2-{\alpha }_1$、${\alpha }_4={\alpha }_1-{\alpha }_2$。因此原组每个向量都可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 表示，它们构成极大线性无关组，$r(A)=2$。

$H$ 各列是 $A$ 各列在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 下的表示系数，因此

由结合律，$A^{10}=G(HG{)}^{9}H$。计算 $H{\alpha }_1=(1,0{)}^T$、$H{\alpha }_2=(-1,1{)}^T$，故

$N^2=O$，且 $E,N$ 可交换，所以 $(HG{)}^9=E+9N=\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)$。
于是 $G(HG{)}^9=({\alpha }_1,-9{\alpha }_1+{\alpha }_2)$。记 $u={\alpha }_1=(1,0,-1,-1{)}^T$、$v=(-8,-1,9,7{)}^T$，右乘 $H$ 后四列为 $u,v,-u+v,u-v$，得到

由上述 $HG=E+N,N^2=O$，对任意正整数 $n$ 有

$GN=(0,-{\alpha }_1)$，故 $GNH=(0,-{\alpha }_1,-{\alpha }_1,{\alpha }_1)$，即

取 $n=10$ 即得到前述 $A^{10}$。中间应为 $(HG{)}^{n-1}$，因为最左的 $G$ 与最右的 $H$ 已抽出。