先核对每段导数，再检查分界点的连续性与可导性。因为 $\sqrt{1+x^2}>|x|$，下面两个对数的真数始终为正。
（1）当 $x<0$ 时，应有 $F^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。直接求导得到

因此 A、B 的左段导数符号错误，先排除。
（2）当 $x>0$ 时，用分部积分有

这与 C、D 的右段相符。A、B 的右段导数则为 $-(x+1)\sin x$，也不符合要求。
（3）原函数可导必连续。C、D 的右极限均为 $1$；C 的 $F(0)=\ln 1=0$，不连续；D 的 $F(0)=\ln 1+1=1$，与左右极限相同，因此只剩 D。
最后核验 D 在 $0$ 处可导：左段公式在零点附近的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，故左导数为 $1$；右段公式在零点的值同为 $1$，其导数为 $(x+1)\cos x$，故右导数为 $1$。于是 $F^{\prime }(0)=1=f(0)$，D 在整个实轴上均满足 $F^{\prime }=f$，所以选 D。