（1）证明 B。$\ln x$ 在 $x=1$ 处连续且 $\ln 1=0$；在 $1$ 的充分小去心邻域内，$x>0$ 且 $\ln x\ne 0$，故可写 $f(x)=[\frac{f(x)}{\ln x}]\ln x$。由极限乘法法则，

因此 B 必然成立。
（2）否定 A、C。极限不约束函数在该点的取值。对 $x>0$，取 $f(x)=\ln x$（$x\ne 1$），另令 $f(1)=2$。此时 $\frac{f(x)}{\ln x}\equiv 1$，满足条件，但 $f(1)\ne 0$，A 不成立；又 $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=0\ne f(1)$，函数在 $1$ 处不连续，从而不可导，C 也不成立。
（3）否定 D。即使函数在 $1$ 处可导，其导函数在附近也不一定有极限。取

由于 $\ln x\sim x-1$（$x\to 1$），有

故 $\frac{f(x)}{\ln x}\to 1$，满足题设。同时，$\frac{[f(x)-f(1)]}{(x-1)}\to 1$，所以 $f^{\prime }(1)=1$。当 $x\ne 1$ 时，

前两项分别趋于 $1$、$0$，最后一项振荡。具体取 $x_n=1+\frac{1}{(2n\pi )}$ 与 $y_n=1+\frac{1}{((2n+1)\pi )}$，则 $f^{\prime }(x_n)\to 0$、$f^{\prime }(y_n)\to 2$，故 $\underset{x\to 1}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不存在，D 不成立。综上选 B。