$f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在，意味着 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 可导，因此 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 连续；它不保证 $f^{\prime \prime }$ 在 $x_0$ 连续。
（1）若 $f^{\prime }(x_0)>0$，由 $f^{\prime }$ 的连续性及局部保号性，存在 $\delta >0$，使 $|x-x_0|<\delta$ 时 $f^{\prime }(x)>\frac{f^{\prime }(x_0)}{2}>0$。对该邻域内任意 $x_1<x_2$，由拉格朗日中值定理，$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)>0$，故 $f$ 单调增加，B 正确。
（2）A 不成立：$f(x)=x^3$ 在实轴上严格递增，但 $f^{\prime }(0)=0$。C 不成立：$f(x)=x^4$ 满足 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$，图形为凹，但 $f^{\prime \prime }(0)=0$。
（3）D 不成立。取 $x_0=0$，并令

由定义，$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }(x+4x^3\sin \frac{1}{x})=0$。当 $x\ne 0$ 时，

于是

但对 $x\ne 0$ 再求导，有

取 $x_k=\frac{1}{2k\pi +\frac{\pi }{2}}\to 0$，得 $f^{\prime \prime }(x_k)=-2+48x_k^2\to -2$。因此任意小的 $0$ 邻域内都有二阶导数为负的点，$f$ 不可能在该邻域内是凹函数。综上选 B。