记 $g(x)=\frac{\arctan x}{[x^p(1+x)]}$，它在 $(0,+\infty )$ 上连续且为正。原积分收敛当且仅当 ${\int }_0^{1}g(x)dx$ 与 ${\int }_1^{+\infty }g(x)dx$ 均收敛。
当 $x\to 0^{+}$ 时，$\arctan x\sim x$、$1+x\to 1$，故 $g(x)\sim x^{1-p}$。由零端点幂积分判别法，该段收敛当且仅当 $1-p>-1$，即 $p<2$。
当 $x\to +\infty$ 时，$\arctan x\to \frac{\pi }{2}$、$1+x\sim x$，故 $g(x)\sim \frac{\pi }{2}{x}^{-(p+1)}$。由无穷限幂积分判别法，该段收敛当且仅当 $p+1>1$，即 $p>0$。
取交集得 $0<p<2$。当 $p=0$ 时无穷端与 $\frac{1}{x}$ 同阶，当 $p=2$ 时零端与 $\frac{1}{x}$ 同阶，均发散，因此两端点不能取到。