（1）被积函数$\sqrt{3-t^2}$的实数定义域为$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$，故变限积分给出的曲线自然定义域也是$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$。题目未另限曲线段，需计算整个定义区间上的弧长。
（2）由被积函数连续，$y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}$，故

（3）令$x=2\sin \phi$，取$\phi \in [-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$，则$dx=2\cos \phi d\phi$，$\sqrt{4-x^2}=2\cos \phi$；这里$\cos \phi >0$，两端$x=\pm \sqrt{3}$对应$\phi =\pm \frac{\pi }{3}$。于是

先由$\sqrt{3-t^2}$的定义域得到$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$，再由变限积分求导得$y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}$。弧长因此为$s={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}dx$。
此积分在数值上等于半径为$2$的上半圆中$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$部分的面积。端点为$(\pm \sqrt{3},1)$，两条端点半径与正$y$轴各成$\frac{\pi }{3}$角。该面积由中心角$\frac{2\pi }{3}$的扇形及两块直角边长为$\sqrt{3}$和$1$的直角三角形组成，因此