真题库

曲线$y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t$的弧长为 。

曲面$z=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$在点$(0,0,0)$处的切平面方程为 。

已知函数$f(x,y)$满足$\mathrm{d}f(x,y)=\frac{x\mathrm{dy}-y\mathrm{dx}}{x^2+y^2}$，且$f(1,1)=\frac{\pi }{4}$，则$f(\sqrt{3},3)=$ 。

已知线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_3=1\\ x_1+a{x}_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+a{x}_3=0\\ a{x}_1+b{x}_2=2\end{array}$有解，其中$a,b$为常数。若$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=4$，则$\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=$ 。

已知向量${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 9\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$。若$\mathbf{\gamma }$既可由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$线性表示，也可由${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$线性表示，则（　　）。

设$X_1,\dots ,X_n$为来自总体$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$的简单随机样本，$Y_1,\dots ,Y_m$为来自总体$N({\mu }_2,2{\sigma }^2)$的简单随机样本，且两样本相互独立。记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_i,S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2,S_2^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(Y_i-\overline{Y}{)}^2$，则（　　）。

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=$ 。

设随机变量$X$服从参数为 1 的泊松分布，则$E(|X-E(X)|)=$（　　）。

设某公司在$t$时刻的资产为$f(t)$，从 0 时刻到$t$时刻的平均资产等于$\frac{f(t)}{t}-t$。假设$f(t)$连续且$f(0)=0$，则$f(t)=$ 。

曲线$y=x\ln (\mathrm{e}+\frac{1}{x-1})$的斜渐近线方程为（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)|(x-1{)}^2+y^2\le 1\}$，计算二重积分${\iint }_D|\sqrt{x^2+y^2}-1|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

若函数$f(a)={\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^{a+1}}\mathrm{d}x$在$a=a_0$处取得最小值，则$a_0=$（　　）。

当$x\to 0$时，函数$f(x)=ax+b{x}^2+\ln (1+x)$与$g(x)={\mathrm{e}}^{x^2}-\cos x$是等价无穷小，则$ab=$ 。

设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$x^2+y^2-xy=1,x^2+y^2-xy=2$与直线$y=\sqrt{3}x,y=0$围成，计算${\iint }_D\frac{1}{3x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$f(x)=(x^2+a){\mathrm{e}}^x$没有极值点，但曲线$y=f(x)$有拐点，则$a$的取值范围是（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$。

若微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的解在$(-\infty ,+\infty )$上有界，则（　　）。

设$f(x)$为周期为 2 的周期函数，且$f(x)=1-x,x\in [0,1]$。若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\pi x$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }(x^2+y^2),& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_1+x_3{)}^2-4(x_2-x_3{)}^2$的规范形为（　　）。