2023 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

Y_{1}, \dots, Y_{m}

为来自总体

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本，且两样本相互独立。记

X = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, Y = \frac{1}{m} i = 1 \sum m Y_{i}, S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - X)^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - Y)^{2}

，则（　　）。

答案

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正态总体样本方差的抽样分布给出

U = \frac{( n - 1 ) S _{1}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1), V = \frac{( m - 1 ) S _{2}^{2}}{2 σ ^{2}} \sim χ^{2} (m - 1) .

两个总体的方差分别为 $σ^{2}$ 和 $2 σ^{2}$ ，标准化时分母不能混用。 $U, V$ 分别由两组独立样本决定，因此相互独立。
按 $F$ 分布定义，各卡方先除以自己的自由度，再作商：

\frac{\frac{U}{( n - 1 )}}{\frac{V}{( m - 1 )}} = \frac{\frac{S _{1}^{2}}{σ ^{2}}}{\frac{S _{2}^{2}}{( 2 σ ^{2} )}} = \frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1) .

故选 D。用样本均值计算的两个离差平方和各损失一个自由度，不能将自由度写成 $n, m$ 。