2023 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

已知平面区域

D = {(x, y) ∣0 \leq y \leq \frac{1}{x 1 + x ^{2}}, x \geq 1}

。

(1) 求 $D$ 的面积；
(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积。

答案

第 1 问

$ln (1 + 2)$ 。

第 2 问

$π - \frac{π ^{2}}{4}$ 。

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第 1 问

区域位于曲线下方，沿 $x$ 轴正向无界而高度趋于零，面积由反常积分给出：

S = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x 1 + x ^{2}} .

被积函数在 $[1, + \infty)$ 连续且为正，并且 $\frac{1}{[ x 1 + x ^{2} ]} \sim \frac{1}{x ^{2}}$ ，故积分收敛。
令 $u = \frac{1}{x}$ ，则 $x = \frac{1}{u}$ ， $d x = - \frac{d u}{u ^{2}}$ ；由 $u > 0$ 知 $1 + x^{2} = \frac{1 + u ^{2}}{u}$ ，因此 $\frac{d x}{[ x 1 + x ^{2} ]} = - \frac{d u}{1 + u ^{2}}$ 。当 $x$ 从 $1$ 趋于 $+ \infty$ 时， $u$ 从 $1$ 趋于 $0^{+}$ ，故

S = \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + u ^{2}} = [ln (u + 1 + u^{2})]_{0}^{1} = ln (1 + 2) .

第 2 问

垂直于 $x$ 轴的截面是半径 $\frac{1}{[ x 1 + x ^{2} ]}$ 的圆盘，故

V = π \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} .

被积函数与 $\frac{1}{x ^{4}}$ 等价，积分收敛。利用 $1 = (1 + x^{2}) - x^{2}$ 分解为

\frac{1}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{1 + x ^{2}} .

按反常积分定义取极限：

V = π b \to + \infty lim [- \frac{1}{x} - arctan x]_{1}^{b} = π b \to + \infty lim (- \frac{1}{b} - arctan b + 1 + \frac{π}{4}) = π (1 - \frac{π}{4}) = π - \frac{π ^{2}}{4} .