真题库

设$A$为 4 阶矩阵，$A^{\ast }$为其伴随矩阵。若$A(A-A^{\ast })=O,A\ne A^{\ast }$，则$r(A)$的取值为（　　）。

已知有向曲线$L$为球面$x^2+y^2+z^2=2x$与平面$2x-z-1=0$的交线，从$z$轴正向往负向看去为逆时针方向，计算${\oint }_L(6xyz-y{z}^2)\mathrm{d}x+2x^{2}z\mathrm{d}y+xyz\mathrm{d}z$。

设$P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)$均连续，$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x\ge 0,y\ge 0)$的上侧，则${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x=$（　　）。

已知$f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin t^3\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$上有定义，且$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，则（　　）。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(1-x),& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。在$X=x(0<x<1)$的条件下，随机变量$Y$服从区间$(x,1)$上的均匀分布，则$\mathrm{Cov}(X,Y)=$（　　）。

设某产品价格函数为$p=\{\begin{array}{ll}25-0.25Q,& Q\le 20\\ 35-0.75Q,& Q>20\end{array}$，成本函数为$C=150+5Q+0.25Q^2$，则最大利润为 。

设随机变量$X,Y$相互独立，且$X\sim N(0,2),Y\sim N(-2,2)$。若$P\{2X+Y<a\}=P\{X>Y\}$，则$a=$（　　）。

已知幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数为$\ln (2+x)$，则$\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_{2n}=$（　　）。

设向量${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\\ a\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -1\\ 1\end{array}\right)$线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& a\\ 1& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ b& 2\end{array}\right)$，二次型$f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}BA\mathbf{x}$。已知方程组$A\mathbf{x}=0$的解是$B^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$的解，但两个方程组不同解。

设$A$为三阶矩阵，$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$。若$P^{\mathrm{T}}A{P}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right)$，则$A=$（　　）。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

设函数$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\mathrm{d}f{|}_{(1,1)}=3\mathrm{d}u+4\mathrm{d}v$。令$y=f(\cos x,1+x^2)$，则$y^{\prime \prime }(0)=$ 。

设二次型$f$在正交变换下的标准形为$y_1^2-2y_2^2+3y_3^2$，则其矩阵$A$的行列式与迹分别为（　　）。

设随机试验每次成功的概率为$p$，现进行 3 次独立重复试验。在至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为$\frac{4}{13}$，则$p=$ 。

设$A,B$均为 2 阶矩阵，且$AB=BA$，则“$A$有两个不相等的特征值”是“$B$可对角化”的（　　）。

设随机变量$X,Y$相互独立，且$X\sim N(0,2),Y\sim N(-1,1)$。设$p_1=P\{2X>Y\},p_2=P\{X-2Y>1\}$，则（　　）。

设总体$X$服从$[0,\theta ]$上的均匀分布，其中$\theta >0$未知。$X_1,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，记$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\},T_c=c{X}_{(n)}$。

已知平面区域$D=\{(x,y)|\sqrt{1-y^2}\le x\le 1,-1\le y\le 1\}$，计算${\iint }_D\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。