（1）证明 $A$ 不可逆。若 $A$ 可逆，则由 $A(A-A^{\ast })=O$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $A=A^{\ast }$，与题设矛盾。因此 $|A|=0$，由伴随矩阵恒等式，$A{A}^{\ast }=|A|E=O$，题设即化为 $A^2=O$。

（2）限定秩。由乘积为零的秩不等式，$r(A)+r(A)\le 4$，故 $r(A)\le 2$。也可理解为 $A$ 的像空间包含于其零空间，所以 $r(A)\le 4-r(A)$。若 $r(A)=0$，则 $A=O$，四阶零矩阵的伴随矩阵也是零矩阵，与 $A\ne A^{\ast }$ 矛盾。因此只能有 $r(A)=1$ 或 $2$。

（3）证明两值都能达到。四阶矩阵秩不超过 $2$ 时，所有三阶子式均为零，故 $A^{\ast }=O$。取仅 $(1,2)$ 元为 $1$、其余元素全为零的四阶矩阵，它非零且平方为零，秩为 $1$；再取

它也非零且平方为零，秩为 $2$。两例均满足 $A(A-A^{\ast })=O$ 且 $A\ne A^{\ast }$，所以取值恰为 $1$ 或 $2$，选 D。