按题给区域先对 $x$ 积分。由于 $x^2+y^2\ge 1$，被积函数在区域上连续，且关于 $x$ 的原函数为 $\sqrt{x^2+y^2}$，故

下限处在单位圆上，根式恰为 $1$。利用原函数

得 ${\int }_0^1\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}y=\frac{[\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})]}{2}$，从而 $I=\sqrt{2}-2+\ln (1+\sqrt{2})$。

也可用极坐标。区域为矩形 $0\le x\le 1$、$|y|\le 1$ 中单位圆外的部分。利用关于 $x$ 轴的对称性及被积函数关于 $y$ 的偶性，只算上半区再乘 $2$。该半区满足 $r\ge 1$：在 $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 时外边界为 $r=\sec \theta$，在 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 时为 $r=\csc \theta$。
由于被积函数为 $\cos \theta$，径向积分并乘上对称因子后，

必须在 $\frac{\pi }{4}$ 分段，不能把直线 $x=1$ 当成整个上半区的外边界。