真题库

设平面有界区域$D$位于第一象限，由曲线$xy=\frac{1}{3},xy=3$与直线$y=\frac{1}{3}x,y=3x$围成，计算${\iint }_D(1+x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$满足$x_0=-1,y_0=0,z_0=2$，且$\{\begin{array}{l}{x}_n=-2x_{n-1}+2z_{n-1}\\ y_n=-2y_{n-1}-2z_{n-1}\\ z_n=-6x_{n-1}-3y_{n-1}+3z_{n-1}\end{array}$。记${\mathbf{\alpha }}_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)$，写出满足${\mathbf{\alpha }}_n=A{\mathbf{\alpha }}_{n-1}$的矩阵$A$，并求$A^n$及$x_n,y_n,z_n(n=1,2,\dots )$。

某物体以速度$v(t)=t+k\sin \pi t$做直线运动。若它从$t=0$到$t=3$的平均速度为$\frac{5}{2}$，则$k=$ 。

设$A$是秩为 2 的 3 阶矩阵，$\mathbf{\alpha }$是满足$A\mathbf{\alpha }=0$的非零向量。若对满足${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=0$的任意 3 维列向量$\mathbf{\beta }$均有$A\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }$，则（　　）。

设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1),|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$。

已知函数$f(x,y)=x^3+y^3-(x+y{)}^2+3$。设$T$是曲面$z=f(x,y)$在点$(1,1,1)$处的切平面，$D$为$T$与坐标平面所围成的有界区域在$xOy$平面上的投影。

已知函数$f(x)=x^2(e^x+1)$，则$f^{(5)}(1)=$ 。

函数$f(x)=|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$的第一类间断点个数为（　　）。

微分方程$y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$满足条件$y(1)=0$的解为 。

已知函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$，则在点$(0,0)$处（　　）。

已知$\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y={\mathrm{e}}^{t^2}\end{array}$确定函数$y=f(x)$，则$\underset{x\to +\infty }{\lim }x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=$（　　）。

设$t>0$，曲线$y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$与直线$x=t,x=2t$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转所得旋转体体积为$V(t)$，求$V(t)$的最大值。

设非负函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续。给出命题：① 若${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；② 若存在$p>1$使$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$存在，则该反常积分收敛；③ 若该反常积分收敛，则存在$p>1$使上述极限存在。正确命题个数为（　　）。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设$f(x,y)$连续，则${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=$（　　）。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+a{x}^2{)}^{\sin x}-1}{x^3}=6$，则$a=$ 。

设$t>0$，平面区域$D$由曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-2x}$、直线$x=t,x=2t$及$x$轴围成，其面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}6x(1-x),& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，则$E[(X-E(X){)}^3]=$（　　）。

已知函数$f(x)=x+1$，若$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx,x\in [0,\pi ]$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}=$ 。

设随机变量$X,Y$相互独立，且均服从参数为$\lambda$的指数分布。令$Z=|X-Y|$，则下列随机变量与$Z$同分布的是（　　）。