（1）换元。右端只依赖 $x+y$，令 $u=x+y$，则 $u^{\prime }=1+y^{\prime }$。原方程要求 $u\ne 0$，初值为 $u(1)=1$，所以在含初值的解区间内取 $u>0$。代入得

（2）分离变量并积分。因 $u^2+1>0$，有 $\frac{u^2\mathrm{d}u}{(u^2+1)}=\mathrm{d}x$。将 $\frac{u^2}{(u^2+1)}$ 写成 $1-\frac{1}{(u^2+1)}$，积分得 $u-\arctan u=x+C$。回代 $u=x+y$，两边消去 $x$，得到 $y-\arctan (x+y)=C$。由 $y(1)=0$ 得 $C=-\frac{\pi }{4}$，故

（3）说明分支与定义区间。正分支满足 $u-\arctan u=x-\frac{\pi }{4}$。在 $u>0$ 上，左端导数为 $\frac{u^2}{(1+u^2)}>0$，值域为 $(0,+\infty )$，故它唯一确定 $x>\frac{\pi }{4}$ 上的正函数 $u$，进而唯一确定 $y=u-x$。这就是包含初值点的解分支。

（4）回代核对。对隐式关系求导，得 $y^{\prime }=\frac{(1+y^{\prime })}{[1+(x+y{)}^2]}$，即 $y^{\prime }(x+y{)}^2=1$；正分支上 $x+y>0$，所以 $y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$。代入 $(x,y)=(1,0)$ 也满足原关系。