2024 · 数学三 · 第 3 题 · 选择题

设

f (x, y)

连续，则

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y =

（　　）。

A
$\int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
正确答案
B
$\int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{a r c s i n y}^{\frac{π}{2}} f (x, y) d x$
C
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x$
D
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{a r c s i n y}^{\frac{π}{2}} f (x, y) d x$

答案

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原区域为 $\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}$ ， $sin x \leq y \leq 1$ ，位于正弦曲线上方。由于 $sin x$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上严格递增，取值从 $\frac{1}{2}$ 到 $1$ ，区域在 $y$ 轴上的投影为 $[\frac{1}{2}, 1]$ 。
固定 $y \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，由单调性， $sin x \leq y$ 等价于 $x \leq arcsin y$ ，且 $arcsin y \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 。因此新内层范围为 $\frac{π}{6} \leq x \leq arcsin y$ ，原积分等于

\int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{\frac{π}{6}}^{a r c s i n y} f (x, y) d x .

故选 A。B 取了曲线另一侧的区域；C、D 的外层范围 $[0, \frac{1}{2}]$ 与原区域的投影不符，且 C 在 $y < \frac{1}{2}$ 时内层上限小于下限。