（1）先求原点处的偏导数。坐标轴上 $f(x,0)=f(0,y)=0$，所以由差商定义，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。
（2）判定可微。记 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。当 $xy=0$ 时下式左端为零；当 $xy\ne 0$ 时利用 $|\sin (\frac{1}{(xy)})|\le 1$，统一得到

因此 $f$ 在原点可微，全微分为 $0$。
（3）判定偏导的连续性。在 $xy\ne 0$ 处按乘积法则及链式法则求导，得

沿 $y=x>0$，有 $f_x(x,x)=2x\sin (\frac{1}{x^2})-(\frac{2}{x})\cos (\frac{1}{x^2})$。取 $x_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi }}$，则 $\sin (\frac{1}{x_n^2})=0$、$\cos (\frac{1}{x_n^2})=1$，于是

所以偏导数在原点附近的有定义点上也不能趋于 $f_x(0,0)=0$，不连续。事实上，在 $y$ 轴的非原点处 $f_x$ 还不存在；上述点列已足以否定连续性。
综上，$f_x$ 不连续而 $f$ 可微，选 C。偏导连续是可微的充分条件，不是必要条件；不能由偏导不连续反推不可微。