①错误。取 $f(x)=\frac{1}{(1+x)}$，它在 $[0,+\infty )$ 上非负连续。${\int }_0^{+\infty }f(x{)}^{2}dx=1$，但 ${\int }_0^{b}f(x)dx=\ln (1+b)\to +\infty$，因此平方可积不能推出本身可积。
②正确。设某个 $p>1$ 使 $x^{p}f(x)\to L$，这里“极限存在”指有限极限。由非负性 $L\ge 0$，故存在 $M>1$，当 $x>M$ 时 $0\le f(x)\le (L+1)x^{-p}$。由于 $p>1$，右侧在无穷端可积；又 $f$ 在 $[0,M]$ 上连续可积，因此全区间积分收敛。
③错误。取

两段在 $3$ 处相接，函数非负连续，且

但任意 $p>1$ 都有 $x^{p}f(x)=\frac{x^{p-1}}{(\ln x{)}^2}\to +\infty$，不存在满足要求的有限极限。
所以只有②正确，正确命题个数为 $1$，选 B。