按三条递推式依次取系数作为行，得到

在 $\lambda E-A$ 中作第一行加第二行，再提出 $\lambda +2$，并作第二列减第一列，得到

特征值为 $0,1,-2$，互异。对 $0$，方程 $Ax=0$ 给出 $x_1=x_3,x_2=-x_3$，取 ${\xi }_1=(1,-1,1{)}^T$。对 $1$，方程 $(A-E)x=0$ 给出 $x_1=\frac{2}{3}{x}_3,x_2=-\frac{2}{3}{x}_3$，取 ${\xi }_2=(2,-2,3{)}^T$。对 $-2$，方程 $(A+2E)x=0$ 给出 $x_3=0,x_2=-2x_1$，取 ${\xi }_3=(1,-2,0{)}^T$。
因此可取

$|P|=1$，且 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}(0,1,-2)$。令 $t=(-2{)}^n$，对 $n\ge 1$，有 ${\Lambda }^n=\mathrm{diag}(0,1,t)$，于是

右乘初值 ${\alpha }_0=(-1,0,2{)}^T$，得到 ${\alpha }_n=(8+t,-8-2t,12{)}^T$，所以 $x_n=8+(-2{)}^n,y_n=-8-2(-2{)}^n,z_n=12$，均对 $n\ge 1$ 成立。
数列结果也可由初值分解直接得到：$P^{-1}{\alpha }_0=(-10,4,1{)}^T$，故 ${\alpha }_0=-10{\xi }_1+4{\xi }_2+{\xi }_3$。对 $n\ge 1$，零特征值分量消失，于是 ${\alpha }_n=4{\xi }_2+(-2{)}^n{\xi }_3$，与上述结果相同。这里只对正整数 $n$ 将零特征值的幂写为零，不能把简化后的显式公式套到 $n=0$。