2024 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {6 x (1 - x), 0, 0 < x < 1 其他

，则

E [(X - E (X))^{3}] =

（　　）。

答案

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$f (1 - x) = f (x)$ ，密度关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称，且 $X$ 有界，所需各阶矩均存在。直接计算均值也有

E (X) = 6 \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = 6 (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} .

令 $t = x - \frac{1}{2}$ ，则密度变为 $6 (\frac{1}{4} - t^{2})$ ，于是

E [(X - E (X))^{3}] = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 6 t^{3} (\frac{1}{4} - t^{2}) d t = 0.

最后一步是对称区间上奇函数积分为零，故选 B。这里求的是中心矩，需要先减去均值。

对 $k = 1, 2, 3$ ，原点矩为

E (X^{k}) = 6 \int_{0}^{1} (x^{k + 1} - x^{k + 2}) d x = 6 (\frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}) = \frac{6}{( k + 2 ) ( k + 3 )} .

所以 $E (X) = \frac{1}{2}$ 、 $E (X^{2}) = \frac{3}{10}$ 、 $E (X^{3}) = \frac{1}{5}$ 。记 $μ = \frac{1}{2}$ ，展开得

E [(X - μ)^{3}] = E (X^{3}) - 3 μ E (X^{2}) + 3 μ^{2} E (X) - μ^{3} = \frac{1}{5} - \frac{9}{20} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = 0.