对称性与换元。变换 $(x,y)\mapsto (y,x)$ 保持第一象限及乘积 $xy$ 不变，并互换两直线 $y=\frac{x}{3}$、$y=3x$，故 $D$ 关于 $y=x$ 对称。由于 $x-y$ 在此变换下反号，有 ${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，所求积分 $I$ 等于 $D$ 的面积。
令 $u=xy$，$v=\frac{y}{x}$。因 $x,y>0$，反变换为 $x=\sqrt{\frac{u}{v}}$、$y=\sqrt{uv}$，一一对应，且

所以 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2v}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，四条边界化为 $u=\frac{1}{3},u=3,v=\frac{1}{3},v=3$。于是

对称性与直角坐标分段。$D$ 关于 $y=x$ 对称，而 $x-y$ 交换变量后反号，因此所求积分等于区域面积。第一象限中区域条件为

由上下边界相交可知 $\frac{1}{3}\le x\le 3$。比较边界：$\frac{x}{3}\ge \frac{1}{(3x)}$ 当且仅当 $x\ge 1$；$3x\le \frac{3}{x}$ 当且仅当 $x\le 1$。故在 $x=1$ 分段：