真题库

设函数$f(x,y)$可微，且$\mathrm{d}f=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$。求$f(x,y)$，并求其极值。

设${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$是$n$维列向量，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$线性无关，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$线性相关，且${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_4=0$。在空间直角坐标系$O-xyz$中，方程组$x{\mathbf{\alpha }}_1+y{\mathbf{\alpha }}_2+z{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_4$的几何图形是（　　）。

有向曲线$L$沿抛物线$y=1-x^2$从$(1,0)$到$(-1,0)$，则${\int }_L(y+\cos x)\mathrm{d}x+(2x+\cos y)\mathrm{d}y=$ 。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{\cos t}\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{\sin x}{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$，则（　　）。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z+{\mathrm{e}}^x-y\ln (1+z^2)=0$确定，求$(z_{xx}+z_{yy}){|}_{(0,0)}$。

设$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|\mathrm{d}x$，其中$k$为整数，则$I$的值（　　）。

当$x\to 0$时，${\int }_0^x\frac{(1+t^2)\sin t^2}{1+{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$与$x^k$同阶，则$k=$ 。

已知函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+x}{1+n{x}^{2n}}$，则$f(x)$在$x=-1,x=1$处的连续性为（　　）。

在空间直角坐标系$O-xyz$中，三个平面${\pi }_i:a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z=d_i(i=1,2,3)$的位置关系如图所示。记${\mathbf{\alpha }}_i=(a_i,b_i,c_i),{\mathbf{\beta }}_i=(a_i,b_i,c_i,d_i)$，若$r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\alpha }}_2\\ {\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right)=m,r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2\\ {\mathbf{\beta }}_3\end{array}\right)=n$，则（　　）。

设实矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}a+1& a\\ a& a\end{array}\right)$。若对任意实向量$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$，不等式$({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta }{)}^2\le ({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\alpha })({\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta })$都成立，则$a$的取值范围是 。

设向量${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\\ a\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -1\\ 1\end{array}\right)$线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则$ab=$ 。

设$f(x,y)$连续，则${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=$（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a+1& b& 3\\ a& \frac{b}{2}& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$，$M_{ij}$为划去第$i$行和第$j$列所剩的余子式，$|A|=-\frac{1}{2}$，且$-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$，则（　　）。

设总体$X$服从$[0,\theta ]$上的均匀分布，其中$\theta >0$未知。$X_1,\dots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，记$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\},T_c=c{X}_{(n)}$。

曲线$y^2=x$在点$(0,0)$处的曲率圆方程为 。

${\int }_2^{+\infty }\frac{5}{x^4+3x^2-4}\mathrm{d}x=$ 。

设$A$为 3 阶矩阵，$A^{\ast }$为其伴随矩阵。若$r(2E-A)=1,r(A+E)=2$，则$|A^{\ast }|=$ 。

已知数列$\{a_n\}(a_n\ne 0)$发散，则（　　）。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& -1\\ 1& 1& 0& 3\\ 2& 1& 2& 6\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 1& -1& a& a-1\\ 2& -3& 2& -2\end{array}\right)$，且$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right),\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$。

函数$f(x,y)=2x^3-9x^2-6y^4+12x+24y$的极值点为 。