记 $P=y+\cos x$、$Q=2x+\cos y$，则 $Q_x-P_y=2-1=1$，且两函数在全平面光滑。
补上从 $(-1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $(1,0)$ 的有向线段 $L_0$。原曲线从右沿抛物线上方走到左，补线再从左返回右，故闭路 $L+L_0$ 为逆时针正向，围成区域 $D:-1\le x\le 1,0\le y\le 1-x^2$。由格林公式，闭路积分等于面积

补线上 $y=0$、$\mathrm{d}y=0$，故其积分为 ${\int }_{-1}^1\cos x\mathrm{d}x=[\sin x{]}_{-1}^1=2\sin 1$。原积分等于闭路积分减去补线积分，因此 $I=\frac{4}{3}-2\sin 1$。