真题库

函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-{\int }_y^{x}x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=1$确定，则$z_{xx}{|}_{(1,1)}=$ 。

函数$y=y(x)$由$x=\ln (1+2t)$及$2t-{\int }_1^{y+t^2}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=0$确定，则$(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{)}_{t=0}=$ 。

设函数$f(x)$连续，则${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^{y}f(x)\mathrm{d}x=$（　　）。

设函数$f(x)$连续。给出：① $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$存在；② $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$存在；③ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|}{x}$存在；④ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$存在。能推出$f(x)$在$x=0$处可导的条件个数为（　　）。

设${\int }_1^{+\infty }\frac{a}{x(2x+a)}\mathrm{d}x=\ln 2$，则$a=$ 。

设$X\sim N(-1,1),Y\sim N(1,2)$。若$X$与$X+2Y$不相关，则$X$与$X-Y$的相关系数为（　　）。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3$的正惯性指数为（　　）。

已知$u(x,y,z)=x{y}^2{z}^3,\mathbf{n}=(2,2,-1)$，则$(\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{)}_{(1,1,1)}=$ 。

设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。证明：$f^{\prime }(x)$在该区间内严格单调增加的充分必要条件是，对任意$x_1<x_2<x_3$，有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$。

设区域$D=\{(x,y)|y^2\le x,x^2\le y\}$，计算${\iint }_D(x-y+1{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty )$上可导，则（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}[\ln \frac{1}{n}+2\ln \frac{2}{n}+\cdots +(n-1)\ln \frac{n-1}{n}]=$ 。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^x-1}{\ln x\cdot \ln (1-x)}=$ 。

设$n$阶矩阵$A,B,C$满足$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$。给出：① $r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$；② $r(AB)+n=r(A)+r(B)$；③ $r(A)=r(B)=r(C)=n$；④ $r(AB)=r(BC)=n$。正确结论的序号是（　　）。

计算${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-{\mathrm{e}}^{2\sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$。证明$f(x)$在$x=0$处可导，并求$f^{\prime }(0)$。

设函数$f(x,y)$连续，则${\int }_{-2}^2\mathrm{d}x{\int }_{4-x^2}^{4}f(x,y)\mathrm{d}y=$（　　）。

设$A$是$m\times n$矩阵，$\beta$是$m$维非零列向量。若$A$有$k$阶非零子式，则（　　）。

已知函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，记$g(x,y)=f(\frac{x}{y})$。若$x^2{g}_{xx}+xy{g}_{xy}+y^2{g}_{yy}=1,g(x,x)=1,g_x{|}_{(x,x)}=\frac{2}{x}$，求$f(u)$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$，则（　　）。