令 $u=\frac{x}{y}>0$，其中 $y\ne 0$。由链式法则，$g_x=\frac{f^{\prime }(u)}{y}$、$g_y=-\frac{x{f}^{\prime }(u)}{y^2}$。继续分别求导得

这里直接求出所需各阶偏导即可，无须额外假设 $f^{\prime \prime }$ 连续。代入题设的组合，得

沿 $y=x$ 有 $u=1$，所以 $g(x,x)=1$ 给出 $f(1)=1$；由 $g_x(x,x)=\frac{f^{\prime }(1)}{x}=\frac{2}{x}$ 得 $f^{\prime }(1)=2$。这里是先求偏导再代 $y=x$，不能把它混同于 $g(x,x)$ 的一元导数。
令 $p=f^{\prime }$，方程降为 $u^2{p}^{\prime }+up=1$。因 $u>0$，除以 $u$ 后有 $(up{)}^{\prime }=\frac{1}{u}$，积分得 $up=\ln u+C_1$。由 $p(1)=2$ 得 $C_1=2$，故 $f^{\prime }(u)=\frac{(\ln u+2)}{u}$。再积分，

由 $f(1)=1$ 得 $C_2=1$，所以 $f(u)=\frac{1}{2}(\ln u{)}^2+2\ln u+1$，$u>0$。其二阶导为 $f^{\prime \prime }(u)=\frac{(-1-\ln u)}{u^2}$，代回有 $u^2{f}^{\prime \prime }+u{f}^{\prime }=1$，两个初值也满足。