记割线斜率 $K(u,v)=\frac{[f(v)-f(u)]}{(v-u)}$，其中 $a<u<v<b$。
（1）必要性。假设 $f^{\prime }$ 严格增加。任取 $a<x_1<x_2<x_3<b$，可导保证 $f$ 在两个闭子区间连续、内部可导。分别用拉格朗日中值定理，得 $K(x_1,x_2)=f^{\prime }({\xi }_1)$、$K(x_2,x_3)=f^{\prime }({\xi }_2)$，其中 $x_1<{\xi }_1<x_2<{\xi }_2<x_3$。由 $f^{\prime }$ 严格增加，立即得到题设的严格差商不等式。
（2）充分性。假设三点差商不等式恒成立，先建立两个非严格估计。对任意 $u<t$ 及 $s\in (u,t)$，有 $K(u,s)<K(s,t)$。令 $s\to u^{+}$，左边按导数定义趋于 $f^{\prime }(u)$；右边由 $f$ 在 $u$ 连续趋于 $K(u,t)$，所以 $f^{\prime }(u)\le K(u,t)$。
类似地，对 $m<v$ 及 $t\in (m,v)$，有 $K(m,t)<K(t,v)$。令 $t\to v^{-}$，得到 $K(m,v)\le f^{\prime }(v)$。严格不等式取极限后只能先保留非严格号。
（3）任取 $a<u<v<b$，取中点 $m=\frac{(u+v)}{2}$。综合刚才两估计与题设在 $u<m<v$ 上的严格不等式，得到

中间一步保持严格，故 $f^{\prime }(u)<f^{\prime }(v)$。由 $u<v$ 的任意性，$f^{\prime }$ 严格单调增加。两个方向均已证明，且全程只需一阶可导，无需假设二阶导数存在。