配方得

令 $y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+x_3,y_3=x_3$，变换矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，行列式为 $1$，所以可逆。此时 $f=y_1^2-y_2^2$，正惯性指数为 $1$，选 B。

二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$。第二、三行相同，左上二阶子式为 $-1$，故秩为 $2$，恰有一个零特征值。另两个特征值之和为迹 $1$，乘积为二阶主子式之和 $-1-1+0=-2$，所以是 $t^2-t-2=0$ 的根 $2,-1$。只有一个正特征值，正惯性指数为 $1$，选 B。