2025 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

设函数

f (x, y)

连续，则

\int_{- 2}^{2} d x \int_{4 - x^{2}}^{4} f (x, y) d y =

（　　）。

A
$\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{- 4 - y} f (x, y) d x + \int_{4 - y}^{2} f (x, y) d x] d y$
正确答案
B
$\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{4 - y} f (x, y) d x + \int_{4 - y}^{2} f (x, y) d x] d y$
C
$\int_{0}^{4} [\int_{- 2}^{- 4 - y} f (x, y) d x + \int_{2}^{4 - y} f (x, y) d x] d y$
D
$2 \int_{0}^{4} d y \int_{4 - y}^{2} f (x, y) d x$

答案

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原积分区域为 $D = {(x, y) : - 2 \leq x \leq 2, 4 - x^{2} \leq y \leq 4}$ ，故 $y$ 的总范围为 $0 \leq y \leq 4$ 。固定 $y$ ，条件 $y \geq 4 - x^{2}$ 等价于 $x^{2} \geq 4 - y$ ，所以

x \in [- 2, - 4 - y] \cup [4 - y, 2] .

水平截线通常分成左右两段，换序时两段贡献都要保留。因此原积分等于

\int_{0}^{4} d y \int_{- 2}^{- 4 - y} f (x, y) d x + \int_{0}^{4} d y \int_{4 - y}^{2} f (x, y) d x,

即选项 A。B 将第一段上限的负号漏掉，多算中间不属于区域的部分；C 把第二段上下限颠倒，错误减去右半区贡献；D 虽利用了区域对称，但题设没有给出 $f (- x, y) = f (x, y)$ ，不能对任意连续函数都化成右半区的两倍。取 $f (x, y) = x$ 即可看出 D 不成立。