函数 $u=x{y}^2{z}^3$ 为多项式，处处可微。求偏导得 $u_x=y^2{z}^3$、$u_y=2xy{z}^3$、$u_z=3x{y}^2{z}^2$，所以 $\nabla u(1,1,1)=(1,2,3)$。
向量 $n=(2,2,-1)$ 的模长为 $\sqrt{4+4+1}=3$，故单位方向向量为 $(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$。方向导数为

必须先将方向向量单位化，并保留第三分量的负号。