记 $\Phi (x,y)=x{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，则原方程为 $z+\ln z=1+\Phi (x,y)$，且 $z>0$。在 $(1,1)$ 处，积分上下限相等，故 $\Phi (1,1)=0$。$z+\ln z$ 严格递增，所以 $z+\ln z=1$ 的唯一解为 $z=1$。其关于 $z$ 的导数 $1+\frac{1}{z}>0$，结合光滑性可知局部隐函数具有所需二阶偏导数。
被积表达式中的 $x$ 是参数，须同时计算参数和上限变化的贡献：

于是 ${\Phi }_x(1,1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$、${\Phi }_{xx}(1,1)=0$。对隐函数方程关于 $x$ 求导，得 $(1+\frac{1}{z})z_x={\Phi }_x$，从而 $z_x(1,1)=\frac{1}{(2\mathrm{e})}$。再求一次导：

代入基点数值，得 $2z_{xx}(1,1)-\frac{1}{(4{\mathrm{e}}^2)}=0$，所以 $z_{xx}(1,1)=\frac{1}{(8{\mathrm{e}}^2)}$。第一次求导后的积分项虽在该点为零，其导数却不为零，不能提前删去。