记 $g(x)=|\sin x|$。由 $g(x+\pi )=|-\sin x|=g(x)$，它是周期为 $\pi$ 的连续函数。
先说明一个整周期的积分与起点无关。令 $\Phi (a)={\int }_a^{a+\pi }g(x)\mathrm{d}x$，由变限积分求导得 ${\Phi }^{\prime }(a)=g(a+\pi )-g(a)=0$，故 $\Phi$ 为常数。因此

当 $k>0$ 时，按积分可加性分成 $k$ 个长度为 $\pi$ 的区间，每段积分均为 $2$，故 $I=2k$。当 $k=0$ 时，上下限相同，$I=0$；当 $k<0$ 时，令 $m=-k>0$，交换积分限得 $I=-{\int }_{a-m\pi }^{a}g(x)\mathrm{d}x=-2m=2k$。
所以对所有整数 $k$，均有 $I=2k$，与 $a$ 无关而随 $k$ 改变，选 B。