$Z=|X-Y|\ge 0$。对 $z\ge 0$，两个事件 $X-Y>z$ 与 $Y-X>z$ 互斥；又由独立同分布的对称性，它们概率相同，故

按 $Y$ 的值积分，利用独立性与指数尾概率，得

因此 $P\{Z>z\}=e^{-\lambda z}$，即

这正是参数为 $\lambda$ 的指数分布，故 $Z$ 与 $X$ 同分布，选 D。
其余选项也可由密度排除。$X+Y$ 的卷积密度在 $t>0$ 为 ${\int }_0^t\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda (t-x)}dx={\lambda }^{2}t{e}^{-\lambda t}$；$\frac{(X+Y)}{2}$ 的密度为 $4{\lambda }^{2}t{e}^{-2\lambda t}$。这两者在 $t\downarrow 0$ 时均趋于 $0$，而 $Z$ 的密度趋于 $\lambda >0$，所以都不同分布。$2X$ 的分布函数在 $t\ge 0$ 为 $1-e^{-\lambda \frac{t}{2}}$，也与 $Z$ 不同。