记等式右侧矩阵为 $M$。由 $P^{\mathrm{T}}A{P}^2=M$，得 $A=(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}M(P^2{)}^{-1}$。

（1）求逆变换。写成 $P=E+N$，其中 $N$ 仅 $(3,1)$ 元为 $1$，且 $N^2=O$。因此 $P^2=E+2N$、$(P^2{)}^{-1}=E-2N$，而 $(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=E-N^{\mathrm{T}}$。

（2）左乘 $(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，即从第一行减去第三行：第一行由 $(a+2c,0,c)$ 变为 $(a,0,0)$，得到

（3）右乘 $(P^2{)}^{-1}$，即从第一列减去第三列的两倍，第一列由 $(a,0,2c{)}^{\mathrm{T}}$ 变为 $(a,0,0{)}^{\mathrm{T}}$，其余列不动，故 $A=\mathrm{diag}(a,b,c)$，选 C。两个外侧矩阵均可逆，所以这个解唯一；正向右乘 $P^2$ 恢复第三行第一元 $2c$，再左乘 $P^{\mathrm{T}}$ 把第三行加到第一行，即恢复题给矩阵。