记圆盘 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}$。随机变量均有界，相关矩存在。$D$ 关于两个坐标轴对称，密度 $f(x,y)$ 对 $x,y$ 都是偶函数，所以 $xf(x,y)$ 关于 $x$ 为奇函数，$yf(x,y)$ 关于 $y$ 为奇函数，从而 $E(X)=E(Y)=0$。
同理，$xyf(x,y)$ 关于 $x$ 为奇函数，故

因此 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$。

不独立。先按圆盘的上下边界求边缘密度。对 $|x|<1$，令 $h=\sqrt{1-x^2}$，则

当 $|x|\ge 1$ 时可取 $f_X(x)=0$。由对称性，$f_Y$ 有同样表达式。
在开矩形 $(0.8,0.9)\times (0.8,0.9)$ 上，$x^2+y^2>1$，故联合密度为零，而两个边缘密度均严格为正。这里密度乘积分解在正面积区域上不成立，因此 $X,Y$ 不独立。等价地，事件 $0.8<X<0.9$ 与 $0.8<Y<0.9$ 各有正概率，却不可能同时发生。不能仅凭一个点的密度值不同判定不独立，因为密度只在几乎处处意义下唯一。

$Z=X^2+Y^2$ 几乎必然取值于 $[0,1]$，所以 $z<0$ 时 $F_Z(z)=0$，$z>1$ 时 $F_Z(z)=1$。对 $0\le z\le 1$，事件 $Z\le z$ 对应半径 $\sqrt{z}$ 的圆盘。用极坐标，面积元为 $rdrd\theta$，得到

分布函数在 $0,1$ 处连续，分段求导可取

其积分 ${\int }_0^{1}2zdz=1$，两端没有额外点质量。