（1）题意要求方程的所有解在整条实轴上有界，而不只是存在一个有界解；零解对任何参数都存在，不能据此确定参数。设特征方程为 $r^2+ar+b=0$。
（2）若存在非零实根 $r$，解 ${\mathrm{e}}^{rx}$ 必在实轴的某一端无界。若存在共轭根 $\alpha \pm \beta \mathrm{i}$ 且 $\alpha \ne 0$，相应解 ${\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos \beta x$ 沿余弦绝对值为 $1$ 的点列，也会在某一端无界。因此所有解双向有界，要求两个特征根的实部都为零。
（3）还须排除零根。若 $b=0,a\ne 0$，另一根 $-a\ne 0$，存在无界指数解；若 $a=b=0$，零为二重根，通解 $C_1+C_{2}x$ 含无界解 $x$。所以两根只能为非零纯虚共轭根 $\pm \beta \mathrm{i}$。由韦达定理，根的和 $-a=0$，积 $b={\beta }^2>0$，即 $a=0,b>0$。
（4）反过来，当 $a=0,b>0$ 时，通解为

对所有实数 $x$，都有 $|y(x)|\le |C_1|+|C_2|$，故每个解均有界，选 C。
（5）A 中两根实部为正，存在向 $+\infty$ 无界的解，如 $a=-2,b=1$ 时的 ${\mathrm{e}}^x$；B 中实部为负，仅向 $+\infty$ 衰减，向 $-\infty$ 会无界，如 $a=2,b=1$ 时的 ${\mathrm{e}}^{-x}$；D 中有实根 $\sqrt{-b}>0$，对应指数解无界，均不符合。