先确定定义域：$e+\frac{1}{x-1}>0$ 等价于 $x<1-\frac{1}{e}$ 或 $x>1$，因此正、负无穷两个方向都可考察。
斜渐近线的斜率为

求截距时，先利用 $1=\ln e$ 合并对数：

令 $u=\frac{1}{[e(x-1)]}\to 0$，则 $\frac{\ln (1+u)}{u}\to 1$，所以

两端得到同一条斜渐近线 $y=x+\frac{1}{e}$，选 B。