2023 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

已知向量

α_{1} = 123, α_{2} = 211, β_{1} = 259, β_{2} = 101

。若

γ

既可由

α_{1}, α_{2}

线性表示，也可由

β_{1}, β_{2}

线性表示，则（　　）。

A
$γ = k 334, k \in R$
B
$γ = k 3510, k \in R$
C
$γ = k - 1 12, k \in R$
D
$γ = k 158, k \in R$
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答案

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令 $γ = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} = y_{1} β_{1} + y_{2} β_{2}$ ，移项得到齐次方程 $M (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2})^{T} = 0$ ，其中

M = 123211 - 2 - 5 - 9 - 1 0 - 1 .

先作 $r_{2} \leftarrow r_{2} - 2 r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 3 r_{1}$ ，再作 $r_{3} \leftarrow 3 r_{3} - 5 r_{2}$ ，得到

M ⟶ 100 2 - 3 0 - 2 - 1 - 4 - 1 2 - 4 .

取自由未知量 $y_{2} = t$ ，由第三行得 $y_{1} = - t$ ，第二行得 $x_{2} = t$ ，第一行得 $x_{1} = - 3 t$ 。所以

γ = t (- 3 α_{1} + α_{2}) = t (- 1, - 5, - 8)^{T} .

令 $k = - t$ ，得 $γ = k (1, 5, 8)^{T}$ ， $k \in R$ ，选 D。也有 $(1, 5, 8)^{T} = 3 α_{1} - α_{2} = β_{1} - β_{2}$ ，两边表示一致， $k = 0$ 亦允许。

可直接检验选项的方向向量。A 的 $(3, 3, 4)^{T} = α_{1} + α_{2}$ ，但若用 $β$ 组表示，前两分量给 $y_{1} = \frac{3}{5}, y_{2} = \frac{9}{5}$ ，第三分量为 $\frac{36}{5} \neq = 4$ ，排除。B 的 $(3, 5, 10)^{T} = β_{1} + β_{2}$ ，但在 $α$ 组中前两分量给 $x_{1} = \frac{7}{3}, x_{2} = \frac{1}{3}$ ，第三分量为 $\frac{22}{3} \neq = 10$ ，排除。C 的 $(- 1, 1, 2)^{T} = α_{1} - α_{2}$ ，但在 $β$ 组中前两分量给 $y_{1} = \frac{1}{5}, y_{2} = - \frac{7}{5}$ ，第三分量为 $\frac{2}{5} \neq = 2$ ，排除。D 的 $(1, 5, 8)^{T} = 3 α_{1} - α_{2} = β_{1} - β_{2}$ ，可同时表示，选 D。