令 $h=x-1$，则 $h\to 0$，且

$$\ln \cos h\sim -\frac{h^2}{2}.$$

另一方面，

$$1-\sin \frac{\pi x}{2}=1-\cos \frac{\pi h}{2}\sim \frac{1}{2}{\left(\frac{\pi h}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2{h}^2}{8}.$$

故所求极限为

$$\frac{-\frac{h^2}{2}}{\frac{{\pi }^2{h}^2}{8}}=-\frac{4}{{\pi }^2}.$$