（1）确定和函数的周期。题给级数只含 $\sin (n\pi x)$，它对应于 $f$ 在 $(0,1)$ 上先作奇延拓，再作周期为 $2$ 的延拓。延拓函数在一个周期内分段单调，且只有有限个第一类间断点，满足狄利克雷条件。因此级数收敛，其和函数满足 $S(x+2)=S(x)$，且为奇函数。

（2）移入基本区间。由于 $-\frac{7}{2}+4=\frac{1}{2}$，相差两个周期，故 $S(-\frac{7}{2})=S(\frac{1}{2})$，这里无需使用奇性。

（3）计算间断点的和。由题设，$f(\frac{1}{2}-0)=0$，$f(\frac{1}{2}+0)=\frac{1}{4}$，因此 $\frac{1}{2}$ 为跳跃间断点。由狄利克雷收敛定理，级数在该点收敛到左右极限的平均值，而不是函数在该点的取值：