真题库

已知$f(x)$满足$f(x)=\frac{1}{(2-x{)}^2}-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，将$f(x)$展开成$x$的幂级数。

线密度为 1 的细直棒端点为$(-1,0)$、$(1,0)$，质量为$m$的质点位于$(0,1)$，$G$为引力常量，则细棒对质点的引力大小为（　　）。

设$D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算${\iint }_D\frac{y}{(1+x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x})=$ 。

${\int }_0^{1}x(x-1)(x-\frac{1}{2})\mathrm{d}x=$ 。

连续型随机变量$X$的分布函数为$F(x)$，随机变量$Y$的分布函数为$F(ay+b)$。$X$的期望和方差为$\mu ,{\sigma }^2(\sigma >0)$；若$Y$的期望和方差为 0 和 1，则（　　）。

已知$f(x)={\int }_1^{x^3}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}}{1+t^2}\mathrm{d}t$，$g$是$f$的反函数，则（　　）。

设三阶矩阵$A$、$B$满足$AB+BA=A^2+B^2,A\ne B$，则错误的是（　　）。

设曲面$\Sigma$由直线$x=0,y=0$绕直线$x=t,y=t,z=t$旋转一周得到，${\Sigma }_1$为其介于平面$x+y+z=0$与$x+y+z=1$之间部分的外侧。计算${\iint }_{{\Sigma }_1}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

微分方程$x{y}^{\prime }-y+x^2{\mathrm{e}}^x=0$满足$y(1)=-\mathrm{e}$的解为 。

微分方程$(2y-3x)\mathrm{d}x+(2x-5y)\mathrm{d}y=0$满足$y(1)=1$的解为 。

设二维随机变量$(X,Y)\sim N(0,0;1,1;\rho ),\rho \in (-1,1)$。若$a^2+b^2=1$，则$D(aX+bY)$的最大值为（　　）。

已知$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<\frac{1}{2}\\ x^2,& \frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}$的傅里叶级数为$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$，其和函数为$S(x)$，则$S(-\frac{7}{2})=$ 。

设函数$z=z(x,y)$由$z+\ln z-{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$确定，则$z_x+z_y=$（　　）。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right)$与$B=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$合同。

设$X_1,\dots ,X_{20}$来自总体$B(1,0.1)$的简单随机样本，令$T=\sum _{i=1}^{20}{X}_i$，用泊松分布近似二项分布可得$P\{T\le 1\}\approx$（　　）。

单位质点$P$、$Q$分别位于$(0,0),(0,1)$，$P$沿$x$轴正向移动。记$G$为引力常量，则$P$移动到$(l,0)$时克服$Q$的引力所做的功为（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 4x,x^2+y^2\le 4y\}$，计算${\iint }_D(x-y{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$A$为 3 阶矩阵，则“$A^3-A^2$可对角化”是“$A$可对角化”的（　　）。

设 3 阶矩阵$A$、$B$满足$r(AB)=r(BA)+1$，则（　　）。