2026 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

设

D = {(x, y) ∣0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

，计算

\iint_{D} \frac{y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x d y

。

答案

$ln \frac{2 + 2}{1 + 3}$

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被积函数在闭正方形上连续，可选先对 $y$ 积分。固定 $x$ ，令 $u = 1 + x^{2} + y^{2}$ ，则 $d u = 2 y d y$ ，所以

\int_{0}^{1} \frac{y d y}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2} \int_{1 + x^{2}}^{2 + x^{2}} u^{- \frac{3}{2}} d u = [- u^{- \frac{1}{2}}]_{1 + x^{2}}^{2 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{2 + x ^{2}} .

由 $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$ ， $a > 0$ ，分别计算

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \int_{0}^{1} \frac{d x}{2 + x ^{2}} = ln (1 + 2), = ln (1 + 3) - ln 2 .

相减得 $I = ln (1 + 2) - ln (1 + 3) + ln 2 = ln \frac{2 + 2}{1 + 3}$ 。第二项的下限值是 $ln 2$ ，不能漏掉。

先对 $x$ 积分也可。记 $c^{2} = 1 + y^{2}$ ，由

\int \frac{d x}{( c ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{c ^{2} c ^{2} + x ^{2}} + C,

得到 $I = \int_{0}^{1} \frac{y d y}{( 1 + y ^{2} ) 2 + y ^{2}}$ 。令 $t = 2 + y^{2}$ ，则 $d t = \frac{y d y}{2 + y ^{2}}$ ，故

I = \int_{2}^{3} \frac{d t}{t ^{2} - 1} = \frac{1}{2} [ln \frac{t - 1}{t + 1}]_{2}^{3} = ln \frac{2 ( 1 + 2 )}{1 + 3} = ln \frac{2 + 2}{1 + 3} .