2025 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

两个约束分别为 $(x - 2)^{2} + y^{2} \leq 4$ 、 $x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 4$ ，故 $D$ 是两个半径为 $2$ 的圆盘的公共部分。两圆交于 $(0, 0)$ 、 $(2, 2)$ ，且区域位于第一象限并关于 $y = x$ 对称。
令 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ ，则 $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq min {4 cos θ, 4 sin θ}$ 。被积函数为 $r^{2} (1 - sin 2 θ)$ 。区域与被积函数都在交换 $x, y$ 后不变，因此只需计算 $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ 的一半再乘 $2$ ；在此范围径向上限为 $4 sin θ$ ，得

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - sin 2 θ) d θ \int_{0}^{4 s i n θ} r^{3} d r = 128 \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{4} θ (1 - sin 2 θ) d θ .

分别计算两项。用降幂公式 $sin^{4} θ = \frac{( 3 - 4 cos 2 θ + cos 4 θ )}{8}$ ，有

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{4} θ d θ = [\frac{3 θ}{8} - \frac{sin 2 θ}{4} + \frac{sin 4 θ}{32}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{3 π}{32} - \frac{1}{4} .

另一项用 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ ，得

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{4} θ sin 2 θ d θ = [\frac{sin ^{6} θ}{3}]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{24} .

所以 $I = 128 (\frac{3 π}{32} - \frac{1}{4} - \frac{1}{24}) = 12 π - \frac{112}{3}$ 。

答案