1988 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

在曲线

y = x^{2}

（

x > 0

）上某点

A

处作一切线，使之与曲线以及

x

轴所围图形的面积为

\frac{1}{12}

。

答案

$A = (1, 1)$

$y = 2 x - 1$

$V = \frac{π}{30}$

查看解析展开

设切点为 $A = (a, a^{2})$ ，其中 $a > 0$ 。切线为 $y = 2 a x - a^{2}$ ，与 $x$ 轴交于 $x = \frac{a}{2}$ 。

所围面积为

\int_{0}^{\frac{a}{2}} x^{2} d x + \int_{\frac{a}{2}}^{a} [x^{2} - (2 a x - a^{2})] d x = \frac{a ^{3}}{24} + \frac{a ^{3}}{24} = \frac{a ^{3}}{12} .

由面积为 $\frac{1}{12}$ 且 $a > 0$ ，得 $a = 1$ ，故 $A = (1, 1)$ 。

在 $x = 1$ 处， $y^{'} = 2 x = 2$ 。过 $(1, 1)$ 的切线为 $y - 1 = 2 (x - 1)$ ，即 $y = 2 x - 1$ 。

当 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，截面面积为 $π x^{4}$ ；当 $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ 时，外半径为 $x^{2}$ ，内半径为 $2 x - 1$ 。

故

V = π \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{4} d x + π \int_{\frac{1}{2}}^{1} [x^{4} - (2 x - 1)^{2}] d x = π (\frac{1}{160} + \frac{13}{480}) = \frac{π}{30} .