真题库

已知曲面$z=4-x^2-y^2$上点$P$处的切平面平行于平面$2x+2y+z-1=0$，则点$P$的坐标是（　　）。

设$z=f(2x-y)+g(x,xy)$，其中函数$f(t)$二阶可导，$g(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设随机变量$X$的数学期望$E(X)=\mu$，方差$D(X)={\sigma }^2>0$，其中$\sigma$为标准差，则由切比雪夫（Chebyshev）不等式，有$P\{|X-\mu |\ge 3\sigma \}\le$ 。

求二重积分${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\frac{\pi }{6}}\frac{\cos x}{x}\mathrm{d}x$。

在曲线$y=x^2$（$x>0$）上某点$A$处作一切线，使之与曲线以及$x$轴所围图形的面积为$\frac{1}{12}$。

已知函数$f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$，$-\infty <x<+\infty$。
$f^{\prime }(x)=$ ；
$f(x)$的单调性： ；
$f(x)$的奇偶性： ；
$f(x)$图形的拐点： ；
$f(x)$图形的凹凸性： ；
$f(x)$图形的水平渐近线： 。

设$4\times 4$矩阵$A=(\alpha ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4)$，$B=(\beta ,{\gamma }_2,{\gamma }_3,{\gamma }_4)$，其中$\alpha$，$\beta$，${\gamma }_2$，${\gamma }_3$，${\gamma }_4$均为$4$维列向量，且已知行列式$|A|=4$，$|B|=1$，则行列式$|A+B|=$ 。

等式${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{a}f(a-x)\mathrm{d}x$对任何实数$a$都成立（　　）。

已知$AP=PB$，其中$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$。

假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只；若是废品，则扔掉并重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只。

设$y=f(x)$是方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$的一个解，若$f(x_0)>0$，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则函数$f(x)$在点$x_0$（　　）。

某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占$20\%$，以$X$表示在随意抽查的$100$个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。附表中$\Phi (x)$是标准正态分布函数：

若$f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t(1+\frac{1}{x}{)}^{2tx}$，则$f^{\prime }(t)=$ 。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2$都收敛，试证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$绝对收敛。

已知$f(x)={\mathrm{e}}^{x^2}$，$f[\varphi (x)]=1-x$且$\varphi (x)\ge 0$。

已知$u+{\mathrm{e}}^u=xy$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$在$x=-1$处收敛，则此级数在$x=2$处（　　）。

设$x\ge -1$，求${\int }_{-1}^x(1-|t|)\mathrm{d}t$。

若$x_0$是函数$f(x)$的极值点，则必有$f^{\prime }(x_0)=0$（　　）。

${\int }_0^4{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。