真题库

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n\cdot 3^n}$的收敛域。

玻璃杯成箱出售，每箱$20$只，假设各箱含$0,1,2$只残次品的概率相应为$0.8,0.1,0.1$。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看$4$只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)$都存在，则极限$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$必存在（　　）。

若$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^x(\sin x+\cos x),& x>0\\ 2x+a,& x\le 0\end{array}$是$(-\infty ,+\infty )$上的连续函数，则$a=$ 。

已知$y=1+x{\mathrm{e}}^{xy}$。

若$f(x)$与$g(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上皆可导，且$f(x)<g(x)$，则必有（　　）。

确定常数$a$和$b$，使函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x>1\\ x^2,& x\le 1\end{array}$处处可导。

讨论级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$的敛散性。

假设随机变量$X$在区间$(1,2)$上服从均匀分布，试求随机变量$Y={\mathrm{e}}^{2X}$的概率密度$f_Y(y)$。

设随机变量$X$服从均值为$10$，均方差为$0.02$的正态分布。已知$\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u,\Phi (2.5)=0.9938,$则$X$落在区间$(9.95,10.05)$内的概率为 。

求极限$\underset{x\to 1}{\lim }(1-x^2)\tan \frac{\pi x}{2}$。

已给线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3+3x_4=1\\ x_1+3x_2+6x_3+x_4=3\\ 3x_1-x_2-k_1{x}_3+15x_4=3\\ x_1-5x_2-10x_3+12x_4=k_2\end{array}$。

若函数$y=f(x)$可导，且有$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2}$，则当$\Delta x\to 0$时，该函数在$x=x_0$处的微分$\mathrm{d}y$是（　　）。

设位于点$(0,1)$的质点$A$对质点$M$的引力大小为$\frac{k}{r^2}$（$k>0$为常数，$r$为质点$A$与$M$之间的距离），质点$M$沿曲线$y=\sqrt{2x-x^2}$自$B(2,0)$运动到$O(0,0)$，求在此运动过程中质点$A$对质点$M$的引力所作的功。

计算${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^x\sin \frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y+{\int }_2^4\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^2\sin \frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y$。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有连续导数，且$m\le f(x)\le M$。

设$f$在$[0,+\infty )$上连续，且对任意$x\ge 1$，有${\int }_0^{x^3-1}f(t)\mathrm{d}t=x-1$，则$f(7)=$ 。

已知向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$（$s\ge 2$）线性无关。设${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,\cdots ,{\beta }_{s-1}={\alpha }_{s-1}+{\alpha }_s,{\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1$。试讨论向量组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$的线性相关性。

$\underset{x\to +0}{\lim }(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{\tan x}=$ 。

设三次独立试验中，事件$A$出现的概率相等，若已知$A$至少出现一次的概率等于$\frac{19}{27}$，则事件$A$在一次试验中出现的概率为 。